Adelantos

El chícharo y el sol, Leonard M. Wapner.

Colección Biblioteca. Cuidado de la edición: Silverio Sánchez R.

Declarar falaces los resultados

Quienquiera que obtenga resultados inesperados e increíbles sospecharía que hay un error. El científico barruntaría un error de diseño, un error estadístico o una anomalía experimental atípica de la población en estudio. El matemático presiente un error de cálculo o de lógica. Si verdaderamente hay un error y se lo encuentra, entonces todo el asunto se desecha como una paradoja de tipo 2.

¿Hay error en la demostración del teorema de Banach-Tarski tal y como la desarrollamos en el capítulo anterior? Los cálculos son correctos y la lógica es intachable. Si hay un error, debemos buscar en la parte más vulnerable de la demostración: la aplicación del Axioma de elección. ¿Es correcto emplear este controvertido axioma cuando nos lleva a conclusión tan estrafalaria?

Los críticos del Axioma de elección señalan la conclusión del teorema de Banach-Tarski como prueba contundente de por qué no debe emplearse tal axioma. Hacen ver que no hay demostración del axioma y argumentan que no podemos declarar que existe una elección si somos incapaces de describirla explícitamente. Concretarse a declarar que existe, dicen, no establece, matemáticamente hablando, su existencia.

Si se muestra a la persona, si se exalta su drama, si, además, ese personaje puede ser el centro de una época sin pedir disculpas por ser mujer, si, por añadidura tiene una obra artística, pareciera que están dadas las condiciones para que venga el reconocimiento. Como si en Frida Kahlo encarnara una imagen de mujer carismática, que reúne femineidad, responsabilidad política, originalidad expresiva, tragedia, valentía física, libertad. Un modelo, en suma, al que hay queagregar lo que los medios masivos, el gran mercado de los seres y las obras, crean como valor y que en el caso de Frida se llama exotismo, una de las formas de laclásica dominación de las metrópolis sobre los países periféricos, por más extensos y poblados que sean.

Los defensores del axioma argumentan que no se requiere de la construcción para demostrar su existencia. Hay en las matemáticas muchos llamados teoremas de existencia que establecen la existencia de un objeto matemático, sin realmente construir el objeto cuya existencia está garantizada por el teorema. Los axiomas, por definición, no necesitan ser demostrados. El axioma es extremadamente intuitivo y rechazarlo sería, para algunos individuos, más perturbador que las consecuencias de usarlo. Y, en todo caso, hemos construido buenas matemáticas con ayuda de este axioma. Es útil, si no indispensable, en disciplinas como la topología, el álgebra, el análisis funcional y el análisis real. Entonces, ¿por qué rechazarlo?

Aceptar el teorema tal cual

Si no rechazamos el teorema, enfrentamos entonces la posibilidad de aceptarlo a valor nominal, tal cual, sin intentos de interpretarlo. Esto puede ser para algunos una píldora difícil de tragar, pues el teorema sugiere que volúmenes y masas se pueden duplicar, cuadruplicar y en realidad amplificar hasta que alcancen cualquier tamaño y formas especificados por un proceso mecánico de corte y rearmado.

La historia nos hace ver que no es la primera vez que resultados que al principio parecieron ser increíbles terminaron por ser aceptados. Vienen muy al caso las palabras de Mark Twain (Twain 97, p. 156): “La verdad es más extraña que la ficción, pero esto es así porque la ficción se ve obligada a complacer las posibilidades; la verdad no”. Nicolás Copérnico (1473-1543), fundador de la astronomía moderna, propuso en 1530 que la Tierra giraba en torno de su eje diariamente y en torno al Sol en el lapso de un año: teoría heliocéntrica que contradecía abiertamente la interpretación geocéntrica del universo de Claudio Ptolomeo. La teoría copernicana iba en contra de las creencias políticas, filosóficas y religiosas de la época, que atribuían al hombre ser el centro del universo y que todo lo demás giraba en torno de la Tierra. A Galileo, defensor de la teoría copernicana, le ordenaron que renunciara a su teoría y por último fue condenado a pasar el resto de su vida en prisión. Otros defensores de Copérnico, como Johannes Kepler y sir Isaac Newton, terminarían por convencer a la comunidad científica de la validez de la teoría heliocéntrica.

En su teoría de la relatividad especial Albert Einstein hace afirmaciones que, vistas de pasada, son muy difíciles de aceptar. Uno de sus postulados básicos es que la velocidad de la luz es constante para todos los observadores, independientemente de sus velocidades relativas. Esto es un tanto paradójico, al menos físicamente, igual que el teorema de Banach-Tarski. Con todo, esto es bien aceptado hoy en día.